Дзета-функция Римана, обозначаемая символом ζ(s), является одной из самых важных и изучаемых функций в аналитической теории чисел. Она определяется для комплексных чисел s, где действительная часть s больше единицы.
Формула для Дзета-функции Римана: ζ(s)=∑∞n=1(1/n8)
Эта функция имеет множество интересных свойств и связей с другими областями математики, такими как теория вероятностей, теория групп, а также физика. Например, с помощью Дзета-функции Римана можно формализовать распределение простых чисел.
Бернхард Риман, выдающийся немецкий математик, играл значительную роль в развитии математики XIX века. Во многих аспектах он следовал за Гауссом, став его интеллектуальным наследником. Риман начал разработку геометрических инструментов, которые впоследствии использовал Эйнштейн для описания структуры Вселенной, а также стали основой теории многообразий в XX веке. Его вклад в область анализа был огромен, и его имя осталось связанным с интегралом Римана, уравнениями Коши–Римана и римановыми поверхностями. Риман также установил связь между теорией простых чисел и анализом, сформулировав гипотезу Римана о дзета-функции, которая, если будет доказана, предоставит важные сведения о распределении простых чисел.
Дзета-функция была введена Л. Эйлером в 1737 году как функция вещественной переменной. Он вывел разложение дзета-функции в произведение по всем простым числам. В 1859 году Б. Риман обнаружил наиболее глубокие свойства дзета-функции, рассматривая её как функцию комплексной переменной. Изучая дзета-функцию, Риман выдвинул гипотезу о расположении её нулей на комплексной плоскости. Эта гипотеза, именуемая гипотезой Римана, остается недоказанной на протяжении более двухсот лет и продолжает быть одной из величайших проблем математики.
Гипотеза Римана остаётся одной из самых известных проблем математики не только потому, что она до сих пор остаётся нерешённой, но и из-за важных последствий, которые она имеет в теории чисел. Многие математики предпринимали попытки доказать или опровергнуть гипотезу Римана, и за прошедший век было представлено тысячи доказательств, многие из которых оказались ошибочными.
